Quizzeria

Matikkapähkinät

Alta löydät kymmenen opettavaista matemaattista pulmaa pohdittavaksi. Kaikki ovat periaatteessa ratkaistavissa ilman apuvälineitä, mutta kovin helppoja ne eivät ole. Kynästä ja paperista varmastikin on apua.

Tsemppiä matkaan!

Maapallonaru

Maapallon ympäri vedetään tiukka naru.

Naruun lisätään yksi metri.
Mille korkeudelle se asettuu?

Näytä vastaus

Vastaus: Naru asettuu 16 cm:n korkeudelle maan pinnasta.

Perustelu

Jos R = maan säde, saadaan alkuperäisen narun pituus:

L0=2πRL_0 = 2\pi R

Kun naruun lisätään metri saadaan pituudeksi:

L1=2πR+1=2π(R+h)L_1 = 2\pi R + 1 = 2\pi (R+h)

missä h = narun korkeus maanpinnasta. Edellisestä ratkaisemalla saadaan:

h=12π≈0.159 m≈16 cmh = \frac{1}{2\pi} \approx 0.159 \text{ m} \approx 16 \text{ cm}

Korkeus ei siis riipu maan säteestä. Sama tulos saataisiin, vaikka naru olisi ollut Jupiterin ympärillä!

Monty Hill TV-peli

TV-ohjelman juontaja antaa sinun valita kolmesta ovesta. Yhden oven takana on auto, jonka saat omaksesi, jos osut oikeaan.

Oletetaan, että valitset oven numero 1. Tämän jälkeen juontaja avaa toisen jäljellä olevista ovista ja näyttää, että oven 3 takana on vuohi.

Juontaja tarjoaa sinulle vielä mahdollisuuden vaihtaa valintasi ovesta 1 oveen 2.

Miten todennäköisyytesi saada auto muuttuu, jos tässä vaiheessa vaihdat arvauksesi ovesta 1 oveen 2?

  1. kasvaa
  2. vähenee
  3. pysyy samana

Monty Hall oli yhdysvaltalainen televisiojuontaja, tunnettu 1960–70-lukujen peliohjelmasta “Let’s Make a Deal”. Ohjelmassa kilpailijat valitsivat ovia, laatikoita tai palkintoja, joiden takaa saattoi paljastua rahaa, auto tai vuohi.

Näytä vastaus

Oikea vastaus: a). Vaihto oveen 2 kannattaa, koska silloin todennäköisyys saada auto on 2/3, muutoin se olisi 1/3.

Perustelu

Alussa:

  • Ovi 1 (valintasi): Valinta on täysin satunnainen, joten auto on tämän oven takana todennäköisyydellä 1/3
  • Ovet 2 ja 3 yhdessä: Edellisen mukaisesti, auto on jomman kumman oven takana todennäköisyydellä 2/3

Juontaja avaa nyt oven 3, jolloin selviää, että siellä ei ole autoa.

Alkuperäinen 2/3 todennäköisyys ei häviä mihinkään. Se vain “siirtyy” nyt jäljellä olevaan oveen (ovi 2). Näin ollen, oven 2 takana on auto todennäköisyydellä 2/3.

Bertrandin laatikot

Edessäsi on kolme laatikkoa, joiden sisällöt ovat:

  • kaksi kultarahaa
  • yksi kultaraha ja yksi hopearaha
  • kaksi hopearahaa

Et kuitenkaan tiedä, mikä laatikoista sisältää mitäkin.

Saat nyt valita satunnaisesti yhden laatikon ja nostaa yhden kolikon siitä, näkemättä laatikon sisältöä.

Valitsemasi kolikko osoittautuu kultaiseksi.

Nyt voit nostaa vielä toisen kolikon jostain kolmesta laatikosta. Kannattaako valita jäljelle jäänyt kolikko samasta laatikosta vai kolikko jommasta kummasta muusta laatikosta?

Joseph Bertrand (1822–1900) oli ranskalainen matemaatikko ja fyysikko, tunnettu erityisesti todennäköisyyslaskennasta ja matemaattisesta analyysistä. Hän julkaisi vuonna 1889 teoksen “Calcul des probabilités”, jossa hän esitteli useita klassisia todennäköisyysongelmia.

Näytä vastaus

Vastaus: Kannattaa nostaa toinen kolikko samasta laatikosta, sillä tällöin todennäköisyys saada kultaraha on 2/3. Jos valitset toisen laatikon todennäköisyys on vain 1/2.

Perustelu

Kultakolikoita on laatikoissa yhteensä kolme siten, että yhdessä laatikossa on kaksi kultaista kolikkoa ja toisessa vain yksi. Kun ensimmäisellä kerralla olet nostanut kultaisen kolikon, se on todennäköisyydellä 2/3 tuosta laatikosta, jossa on kaksi kultakolikkoa, jolloin myös toinen kannattaa nostaa sieltä.

Sama syntymäpäivä

Kuinka monta henkilöä pitää olla koolla, jotta 50%:n todennäköisyydellä kahdella henkilöllä on sama syntymäpäivä (sama kalenteripäivä, ei syntymäaika)?

  1. 23 henkilöä
  2. 63 henkilöä
  3. 103 henkilöä
Näytä vastaus

Oikea vastaus: a) 23 henkilöä

Perustelu 1

Lasketaan ensin todennäköisyys sille, että n:llä henkilöllä on eri syntymäpäivä:

Peri=365365⋅364365⋅363365⋯365−n+1365P_{eri} = \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdots \frac{365-n+1}{365}

Saadaan todennäköisyys sille, että n:llä henkilöllä on eri syntymäpäivä:

Psama=1−365!365n(365−n)!P_{sama} = 1 – \frac{365!}{365^n \, (365-n)!}

Kokeilemalla löydetään:

Psama≈0.5kunn=23P_{sama} \approx 0.5 \quad \text{kun} \quad n = 23

Perustelu 2

Oikean vaihtoehdon voi arvioida myös odotusarvon kautta. Jos henkilöitä on koolla n kpl, mahdollisten parien määräksi saadaan:

nparit=n(n−1)2n_{parit} = \frac{n(n-1)}{2}

Todennäköisyys sille, että yksittäisellä parilla on sama syntymäpäivä, on 1/365. Näin saadaan odotusarvo sellaisten parien määrälle, joilla on sama syntymä:

Esama=n(n−1)2⋅1365=n(n−1)730E_{sama} = \frac{n(n-1)}{2} \cdot \frac{1}{365} = \frac{n(n-1)}{730}

Sijoittamalla tähän n:n arvoja saadaan:

n=23:E=23⋅222⋅365=506730≈0.693n=63:E=63⋅622⋅365=3906730≈5.35n=103:E=103⋅1022⋅365=5253730≈7.2\begin{aligned} n = 23: &\quad E = \frac{23 \cdot 22}{2 \cdot 365} = \frac{506}{730} \approx 0.693 \\ n = 63: &\quad E = \frac{63 \cdot 62}{2 \cdot 365} = \frac{3906}{730} \approx 5.35 \\ n = 103: &\quad E = \frac{103 \cdot 102}{2 \cdot 365} = \frac{5253}{730} \approx 7.2 \end{aligned}

Tästä nähdään, että arvot n=63 ja n=103 ovat selkeästi liian suuria. Esimerkiksi, 63:n henkilön joukosta löytyy keskimäärin 5,35 paria, joilla on sama syntymäaika. Sen sijaan arvolla n=23 saadaan oikea suuruusluokka: 23 henkilön ryhmässä keskimäärin 0.69 parilla on sama syntymäpäivä.

Kultakalat

Akvaariossa on 200 kalaa, joista 99% on kultakaloja ja loput muita kaloja. Kuinka monta kultakalaa sinun tulee poistaa, jotta niiden osuus laskisi 98%:iin.

Näytä vastaus

Vastaus: Sinun tulee poistaa 100 kultakalaa.

Perustelu

Alkuperäisessä akvaariossa on 200 kalaa, joista kultakaloja 198 (99%) ja muita 2 (1 %). Haluamme, että kultakalojen osuus laskee 98 %:iin. Tämä toteutuu, jos kaloja on yhteensä 100 (98 kultakalaa ja 2 muuta kalaa). Näin ollen kultakaloja täytyy poistaa 100 kappaletta.

Pallojen punnitus

Sinulla on kahdeksan palloa, joista yksi on hiukan muita painavampi. Käytössäsi on tasapainovaaka. Kuinka monella punnituksella pystyt selvittämään, mikä palloista on muita painavampi ja miten toimit?

Näytä vastaus

Vastaus: Tarvitset kaksi punnitusta.

Painava pallo selviää näillä kahdella punnituksella:

  1. punnitus
    Verrataan toisiinsa kahta satunnaisesti valittua kolmen pallon ryhmää.
    – Jos toinen kolmen pallon ryhmä on toista painavampi, toteutetaan punnituksen 2 vaihtoehto a).
    – Jos ryhmät ovat yhtä suuret, toteutetaan punnituksen 2 vaihtoehto b).
  2. punnitus
    Vaihtoehto a) Koska 1. punnituksessa toinen kolmen pallon ryhmä oli toista painavampi, tiedetään, että painava pallo on tässä ryhmässä. Toisessa punnituksessa verrataan kahta palloa tästä ryhmästä. Painava pallo on näistä painavampi tai se pallo jota ei punnittu, jos punnitut pallot olivat yhtä suuret.

    Vaihtoehto b) Koska 1. punnituksessa kolmen pallon ryhmät olivat yhtä painavat, tiedetään, että painavin pallon on toinen niistä palloista, joita ei punnittu. Painavin pallo selviää nyt vertaamalla näitä kahta.
Aloittajan etu?

Kaksi henkilöä ottaa vuorotellen palloja säkistä. Säkistä otettuja palloja ei laiteta sinne takaisin. Pelin voittaa se, joka ensiksi saa mustan pallon.

Millä todennäköisyydellä aloittaja voittaa, jos

  1. Mustia palloja on 1 ja valkoisia 9
  2. Mustia palloja on 2 ja valkoisia 8 ?
Näytä vastaus

Vastaukset:

a) Todennäköisyys on 1/2 – aloittajalla ei ole etua.

b) Todennäköisyys on 5/9 – aloittajalla on etu.

Perustelu

a) Ajattele, että pallot ovat säkissä jonossa, jossa musta pallo on satunnaisessa paikassa ja pelaajat poimivat palloja järjestyksessä. Aloittaja saa mustan pallon, jos sen sijainti jonossa on pariton (1,3,5,…). Koska sijainti jonossa on satunnainen, se on pariton todennäköisyydellä 1/2.

b) Ajattele jälleen kymmenen pallon numeroitua jonoa siten, että aloittaja poimii järjestyksessä parittomia ja toinen parillisia. Kaksi mustaa palloa sijaitsee jonossa satunnaisissa paikoissa. Pelin voiton määrää, osuuko järjestyksessä ensimmäinen musta pallo parittomaan vai parilliseen kohtaan. Mahdollisia ensimmäisen mustan pallon sijainteja on 9, koska ensimmäinen musta ei voi olla jonon viimeisenä. Näistä 9:stä sijainnista 5 on parittomia (1,3,5,7,9) ja 4 parillisia (2,4,6,8). Näin aloittajan todennäköisyys mustan pallon nostamiseen on 5/9.

Diagnostinen testi

Yritys on kehittänyt uuden verikokeeseen perustuvan testin harvinaisen aineenvaihduntasairauden X toteamiseen.

Tiedetään, että tautia X sairastaa noin 1 % väestöstä. Testi on hyvin herkkä: se antaa positiivisen tuloksen kaikille sairastuneille. Testi ei kuitenkaan ole täysin tarkka, sillä myös 5 % terveistä henkilöistä saa positiivisen tuloksen.

Satunnaisesti valittu henkilö käy testissä ja saa positiivisen tuloksen.

Millä todennäköisyydellä hän todella sairastaa tautia X?

Näytä vastaus

Vastaus: Hän sairastaa tautia n. 17 % todennäköisyydellä

Perustelu

Ajattele 10 000 hengen ryhmää, jotka testataan. Tässä ryhmässä on 100 (1%) sairauden kantajaa, jotka testi löytää. Toisaalta testi löytää myös keskimäärin 495 (0,05×9900) väärää positiivista. Todennäköisyys sille, että henkilö sairastaa tautia X on nyt:

p=100100+495=100595≈0.168=16.8%p = \frac{100}{100 + 495} = \frac{100}{595} \approx 0{.}168 = 16{.}8\%

Matemaattinen tausta

Tulos perustuu ns. ehdolliseen todennäköisyyteen, jonka teorian Thomas Bayes kehitti 1700-luvulla. Esimerkissämme haetaan ehdollista todennäköisyyttä sille, että henkilöllä on tauti X, jos hän on antanut positiivisen testituloksen. Tämä saadaan Bayesin teoreeman mukaisesti:

P(tauti X|+)=P(+|tauti X)⋅P(tauti X)P(+)P(\text{tauti X} \mid +) = \frac{P(+ \mid \text{tauti X}) \cdot P(\text{tauti X})}{P(+)}

missä:

  • jakoviivan yllä on “todennäköisyys sille, että henkilöllä on sairaus ja testitulos on positiivinen”
  • jakoviivan alla on “todennäköisyys sille, että testitulos oli positiivinen”
Pataässä

Kaksi pelaajaa nostaa korttikasasta vuorotellen. Kortteja ei palauteta kasaan.

  • Ensimmäisellä vuorolla nostetaan 1 kortti
  • Seuraavalla vuorolla 2 korttia
  • Sitten 3 korttia, 4 korttia, jne.

Aloittaja nostaa siis aina parittoman määrän kortteja (1, 3, 5, …) ja toinen pelaaja parillisen määrän (2, 4, 6, …).

Pelin voittaa se, joka ensimmäisenä nostaa pataässän, jonka tiedetään olevan kasassa.

Saat valita, aloitatko pelin. Kannattaako sinun aloittaa ja mikä on voittotodennäköisyytesi, kun:

a) kasassa on 15 korttia

b) kasassa on 21 korttia

Näytä vastaus

Vastaukset:
a) Kannattaa aloittaa, todennäköisyys voittoon on 3/5 = 60%
b) Ei kannata aloittaa, todennäköisyys voittoon on 3/7 ~ 42,9%

Perustelu

Voittotodennäköisyyden määrää se, kuinka suuren osan korteista pääset nostamaan. Tapauksessa a) aloittaja nostaa 1+3+5 = 9 korttia, jolloin voittotodennäköisyys on 9/15 = 3/5. Tapauksessa b) aloittaja saa edelleen nostaa 9 korttia, mutta vastapuoli saa 6 korttia lisää. Aloittajan voittotodennäköisyys on tässä tapauksessa vain 9/21 = 3/7 ~42,9%.

Hattuleikki

Tiimin kolme jäsentä saavat päähänsä joko punaisen tai sinisen hatun. Hatun väri määräytyy satunnaisesti. Pelaaja näkee kahden muun tiimin jäsenen hatun, mutta ei omaa hattuaan.

Pelaajat saavat kukin vuorollaan arvata oman hattunsa värin tai jättää vastaamatta (passata).

Tavoite: tiimi saa palkinnon, jos vähintään yksi tiimin jäsen arvaa oikein, eikä kukaan arvaa väärin.

Pelissä ei saa tapahtua tiedonvaihtoa, mutta tiimi saa ennalta sopia strategian.

Yksinkertainen strategia: sovitaan, että yksi pelaaja arvaa hattunsa värin ja muut passaavat. Koska hatun väri on satunnainen, palkinnon todennäköisyys tällöin on 50%.

Kysymys: Voidaanko sopia parempi strategia? Mikä olisi sen avulla saavutettava todennäköisyys sille, että tiimi saavuttaa tavoitteen ja saa palkinnon ?

Näytä vastaus

Vastaus. Parempi strategia löytyy, ja sen avulla onnistumisen todennäköisyys on 75%.

Parempi strategia: Jos pelaaja näkee muilla pelaajilla samanväriset hatut, hän arvaa omansa olevan eri värinen. Jos pelaaja näkee eriväriset hatut, hän passaa.

Perustelu

Hattujen värit voivat jakautua 8 tavalla (s: sininen, p: punainen):
sss, ppp, ssp, sps, pss, pps, psp, spp

Suoraan nähdään, että

  • kahden ensimmäisen yhdistelmän (sss, ppp) kohdalla valittu strategia tuottaa aina negatiivisen tuloksen
  • kuuden jälkimmäisen yhdistelmän kohdalla valittu strategia tuottaa aina positiivisen tuloksen

Koska hattujen värit jakautuvat satunnaisesti, onnistumistodennäköisyys on 6/8 = 3/4 = 75%